水利投資優(yōu)化數(shù)學模型

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簡介： 一個地區(qū)水利經濟發(fā)展的速度和水平，不僅取決于總量達到了何等程度，而且還取決于一個地區(qū)結構轉變模式的選擇是否適當、轉變的速率以及轉變過程中各要素是否協(xié)調，即水利投資結構優(yōu)化。
關鍵字：水利投資 優(yōu)化 數(shù)學模型

一、水利投資的內涵及特性

　　水利投資是一定經濟主體為了獲取預期不確定的效益而將現(xiàn)期的一定收入轉化為資本。水利投資的特性包括：一是投資效應的“供給時滯”性，二是投資實施的連續(xù)性與波動性，三是投資的周期性，四是投資主體的多樣性，五是投資收益的不確定性。

　　二、水利投資要素及功能

　　水利管理是一項系統(tǒng)工程，研究水利投資結構的優(yōu)化，首先要用系統(tǒng)的觀點，去整體看待和專門研究水利。根據水利問題的性質和范圍，正確確定特定的系統(tǒng)變量，建立與研究問題對應的子系統(tǒng)（一個流域或區(qū)域），從系統(tǒng)要素、結構、輸出、輸入、反饋和控制各方面進行分析研究，采用從定性到定量相結合的綜合集成研究方法，同時自始至終地把任何子系統(tǒng)作為水利可持續(xù)發(fā)展系統(tǒng)的組成部分，從整體出發(fā)，組織、管理、協(xié)調控制各子系統(tǒng)，達到個體與整體，局部與全局的統(tǒng)一。

　　水利系統(tǒng)的要素應包括：水利工程，以工程措施保證水與人的和諧共處；人力，充分挖掘和使用水利管理系統(tǒng)的人力資源，以協(xié)調人、財、物的關系，實現(xiàn)其最優(yōu)組合；體制，以開放、綜合為特征，提高治水的效益；創(chuàng)新，不斷以新的思想、技術、方法和手段，推進水利可持續(xù)發(fā)展。

　　水利的投入要素表現(xiàn)為工程、技術、管理、人員諸多方面。這些要素在水利管理系統(tǒng)中，具有一定的功能，因而在研究水利投資結構時，應著重考慮：一是水利系統(tǒng)整體功能的發(fā)揮；二是系統(tǒng)各要素功能的發(fā)揮以及要素間的相互協(xié)調。

　　三、水利投資優(yōu)化數(shù)學模型

　　水利建設的工程體系包含防洪工程、水資源工程、水土保持及環(huán)境保護工程，各種工程具有不同的作用，且各類工程的經濟效益和社會效益也各不相同。同時?在每一類工程中又有具體的項目，各個項目的風險和收益各不相同。在總投入資金一定的情況下，要努力使總產出效益最大，這就要求對各類工程項目進行可行性分析，對多種投資組合方案進行比選，從而確定最科學的投資組合。從理論上講，給定預期收益，有多種投資組合方案可以實現(xiàn)該預期收益。同樣，給定預期風險，有無窮多種組合方案可以實現(xiàn)該預期風險。如果以預期收益Ｒ０為橫坐標，方差σ２為縱坐標，則任一種可行組合方案惟一地確定出Ｒ０－σ２平面上的一個點，而所有可行的組合方案則確定出Ｒ０－σ２平面上的一個區(qū)域，稱為有效集，記為Ｄ０。理性的投資者總希望，在已知一定風險條件下，獲得最大期望收益，或者在已知期望收益條件下，使投資風險達到盡可能小。具有上述性質的投資組合，稱為有效投資組合。所有的有效投資組合在Ｒ０－σ２平面上可確定出一段弧線，該弧線實際上就是可行集Ｄ的邊界的一部分，稱為有效邊界。

　　如果投資者已確定了水利投資的ｎ個項目，各單個項目的投資收益率為ｒ，ｉ＝１，２，…ｎ。ｒｉ稱為隨機變量，其期望值和方差分別記為Ｒｉ和σｉｉ２可分別視為第ｉ個項目的盈利性指標和風險指標。設各單個項目投資額占總投資額的比例系數(shù)為ｗｉ，投資組合的收益為ｒ，則：

　?。颍剑鳎保颍保鳎玻颍玻鳎睿颍?（１）

　　記ｒ的期望值為Ｒ，則

　?。遥剑牛ǎ鳎保颍保鳎玻颍玻鳎睿颍睿ǎ玻?/p>

　　再設ｒｉ和ｒｊ的協(xié)方差為σｉｊ，協(xié)方差矩陣為Ｃ，則

　　設投資比例系數(shù)向量為：

　　Ｗ＝?ｗ１＋ｗ２＋…＋ｗｎ ?Ｔ（４）

　　投資組合的收益率的方差可以表示為：

　　σ２＝ＷＴＣＷ（５）

　　在選擇ｗｉ時，ｗｉ必須滿足各投資比例系數(shù)之和為１這個約束條件，即：

　　記ｎ維列向量Ｆ＝?１，１，……，１?Ｔ，則上式也可以表示為：

　?。疲裕祝剑保ǎ罚?/p>

　　對一個穩(wěn)健的投資者來說，總是希望投資組合的風險達到極小。這就要求在式（７）的約束條件下，確定投資比例系數(shù)向量Ｗ，使σ２達到極小。這時得到的投資比例系數(shù)向量稱為最優(yōu)化投資比例系數(shù)向量，記為ＷＡ。

　　這樣，我們可用數(shù)學模型描述風險極小化問題：

　　這是一個二次規(guī)劃問題，利用庫恩—塔克條件可轉化為以下方程組：

　　其中λ是標量，稱為拉格郎日乘子。如果是正定矩陣，可得到最優(yōu)投資比例系數(shù)向量和最優(yōu)投資組合的方差分別是：

　　以上模型僅考慮了使風險極小。作為投資者當然也希望收益越高越好。但是，高收益往往伴隨著高風險。這時投資者可以預先確定ｎ種收益水平，并計算出相應的風險水平，然后根據自己對收益的期望和對風險的承受能力，從中選擇適當?shù)耐顿Y組合方案。設預期收益率為Ｒ０，則必有Ｒ０＝ｗ１Ｒ１＋ｗ２Ｒ２＋…＋ｗｎＲｎ。另一個條件與前面一樣，即ｗ１＋ｗ２＋…＋ｗｎ＝１，記以上兩式可合寫成ＡＷ＝Ｂ。

　　那么，這一問題的數(shù)學模型為：

　　同樣可將以上二次規(guī)劃轉化為以下線性方程組求解：

　　在這里通常的秩為２，如果Ｃ正定，則ＡＣＡＴ非奇異。可求得最優(yōu)投資比例系數(shù)向量和最優(yōu)投資組合的方差，投資者就可以尋求具有預期收益率的投資的組合方案。

　　通過上述模型，在進行水利投資結構優(yōu)化時就可以確定合理的各類工程的投資規(guī)模，在保證一定社會效益的前提下，實現(xiàn)水利投資的經濟效益最大化和風險最小化。

　　四、結束語

　　水利投資結構，作為人類進行社會再生產過程中的資源配置方式，其決定因素是由各種不同的方面構成的：一個地區(qū)的自然條件、經濟發(fā)展階段、技術水平、資源配置的方式、對外開放度、經濟體制、社會歷史傳統(tǒng)、人們的思維方式、思想觀念都在不同程度上決定或影響這個地區(qū)的水利投資結構的形成和演化。這些因素的內部存在著一個相互制約、相互促進的體系。投資結構決定因素間的地位并非完全平等，事實上，也許正是各決定因素間的地位非平等化才使投資結構出現(xiàn)了區(qū)際差別，并因為有了這些差別才造成了水利投資結構的變化及其速率的不同。從總體上考察，水利投資結構的變化又受著這些因素的共同吸引，從而在水利投資結構變化的順序上，變化的方向又存在著已經證實的共同性，因而，探索水利投資結構的決定因素，不但可以揭開水利投資結構形成與演化之謎，而且為塑造符合一般規(guī)律同時又切合地區(qū)具體情況的水利投資結構提供理論依據。

　?。ㄗ髡邌挝唬喝卫铻楹雍４髮W水文水資源及環(huán)境學院，王宏偉為江蘇畜牧獸醫(yī)職業(yè)技術學院）