一種多目標(biāo)決策問題的模糊解法及在洪水調(diào)度中的應(yīng)用

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簡(jiǎn)介： 針對(duì)定性多目標(biāo)決策問題，提出了一種利用模糊集理論來求解的方法。它先對(duì)目標(biāo)及權(quán)重進(jìn)行模糊化，然后通過模糊運(yùn)算及反模糊化的過程得到各方案的評(píng)價(jià)值，進(jìn)而進(jìn)行多目標(biāo)決策。文章最后通過對(duì)豐滿水庫實(shí)際洪水調(diào)度方案的多目標(biāo)決策，表明了該方法的可行性和有效性，同時(shí)還具有簡(jiǎn)單、實(shí)用、直觀的優(yōu)點(diǎn)。
關(guān)鍵字：多目標(biāo)決策 模糊邏輯 權(quán)重

中圖分類號(hào)：C934；TV697 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

　　多準(zhǔn)則決策(包括多目標(biāo)決策和多屬性決策)是目前決策科學(xué)、系統(tǒng)工程、管理科學(xué)和運(yùn)籌學(xué)等學(xué)科研究中十分重要、非?；钴S的領(lǐng)域。它是從有限個(gè)待優(yōu)選方案集{A₁, A₂,, A_n}中經(jīng)過綜合權(quán)衡各個(gè)目標(biāo)(或?qū)傩?O_i∈O={O₁,O₂,…, O_m}(i=1,2,…m)后，對(duì)方案集排序并選出最滿意方案。由于各個(gè)目標(biāo)間的不可公度性與沖突性，一般要把各目標(biāo)特征量轉(zhuǎn)化為相對(duì)隸屬度(或效用函數(shù))，然后賦予各個(gè)目標(biāo)相應(yīng)權(quán)重，再作綜合評(píng)價(jià)，從而確定最滿意方案。其中一個(gè)突出而又艱難的問題就是權(quán)重的確定。權(quán)重一般是由決策者給出，但是，決策者往往很難或者根本無法確定各個(gè)目標(biāo)權(quán)重的準(zhǔn)確值；另一方面，決策者雖不能給出一個(gè)確定的權(quán)重，卻能給出一個(gè)大致的范圍，如“很重要”、“重要”、“不太重要”等；同時(shí)在目標(biāo)變量中也存在一些定性目標(biāo)，如“很差”、“較差”、“很好”等，對(duì)這些含有語言變量的多目標(biāo)決策問題，本文給出了一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的模糊求解方法。

1 多目標(biāo)決策的模糊優(yōu)選理論模型簡(jiǎn)介

　　首先簡(jiǎn)單介紹一下陳守煜提出的多目標(biāo)決策模糊優(yōu)選模型^[1]

　　設(shè)考慮的目標(biāo)數(shù)為m，擬定的可行方案數(shù)為n，由n個(gè)決策方案組成的方案集A={A₁,A₂,… A_n}，其決策矩陣可表示為X=(X_ij)_m×n，其中X_ij是方案j(j=1,2,…，n)的第i(i=1,2，…,m)個(gè)定量目標(biāo)值。為了增加目標(biāo)可比性，需要對(duì)目標(biāo)作歸一化，對(duì)效益型(即目標(biāo)值越大越好)和成本型(即目標(biāo)值越小越好)目標(biāo)，分別用公式(1)和式(2)轉(zhuǎn)化成相對(duì)隸屬度矩陣R=(r_ij)_m×n。

r_ij=(x_ij-x_imin)/(x_imax-x_imin)

(1)

r_ij=(x_imax-x_ij)/(x_imax-x_imin)

(2)

　　在式(1)和式(2)中，(符號(hào)∨和∧分別表示取大、取小運(yùn)算)。 

　　對(duì)方案的多目標(biāo)決策問題，方案優(yōu)選是一相對(duì)概念，據(jù)此可定義理想優(yōu)方案G和理論劣方案B

G=(g₁,g₂,…,g_m)

(3)

B=(b₁,b₂…,b_m)

　　式中，

　　顯然，這里G=(1,1，…，1)_1×m,B=(0,0,…， 0)_1×m

由于目標(biāo)沖突性，方案G和B一般是不存在的，為此方案的優(yōu)選是選擇一個(gè)最滿意的方案A_j使之盡可能接近G而遠(yuǎn)離B。若設(shè)方案A_j隸屬于G的相對(duì)隸屬度為u_j則隸屬于B的相對(duì)錄屬度為1-u_j，按模糊優(yōu)選理論模型，可得方案A_j的相對(duì)優(yōu)屬度為

(4)

式中，i=1,2,…，m;j=1,2,…,n。 

　　若權(quán)值已知，通過上式即可求解u_j。

2 定性變量的描述及評(píng)價(jià)

　　我們看到對(duì)于定量的多目標(biāo)決策問題(即目標(biāo)和權(quán)重均為定量值)，上述模型可以很好地解決，但若含有定性目標(biāo)，且權(quán)重不能確定時(shí)又怎么辦呢?文獻(xiàn)[2]是通過構(gòu)建相及矩陣來計(jì)算定性目標(biāo)的相對(duì)隸屬度和權(quán)重的大小的；本文則利用模糊邏輯推理來進(jìn)行求解。 

　　一般，對(duì)于定性變量，我們可以通過一些語言變量進(jìn)行描述，如“很差”、“差”、“較差”、“中”、“較好”、“好”、“很好”等（對(duì)于權(quán)重則稱為“很不重要”、“不重要”、“不太重要”、“一般”、“比較重要”、“重要”、“很重要”等，分別用NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB代替)，這些語言變量又都可以用不同的模糊集來表示。這里用三角形隸屬函數(shù)來表示一個(gè)模糊集：若以3個(gè)頂點(diǎn)在橫軸上的坐標(biāo)(A，B、C)表示一個(gè)三角形，其中B是相對(duì)隸屬度最大的點(diǎn)(如圖1所示)，則以上7個(gè)模糊集分別為(0，0，0.25)，(0，0.25，0.35)，(0.25，0.35，0.5)，(0.35，0.5，0.75)，(0.5，0.75，0.85)，(0.75，0.85，1.0)，(0.85，1.0，1.0)，其隸屬函數(shù)如圖2所示。于是各定性變量可記為(r1_ij，r2_ij,r3_ij)和(w1_i,w2_i,w3_i)(i=1,2,…，m;j=1，2，…，n)，其中，代表第j個(gè)方案中第i個(gè)定性目標(biāo)的模糊數(shù)，指第i個(gè)目標(biāo)權(quán)重的模糊數(shù)。

　　顯然模糊評(píng)價(jià)的結(jié)果也是個(gè)模糊數(shù)，設(shè)為(f1_ij,f2_ij,f3_ij)，則

(5)

圖1 模糊數(shù)表示示意

圖2 各隸屬函數(shù)

　　其中，表示模糊數(shù)的乘，由下式定義

f1_ij=w1_i·r1_ij,

f2_ij=w2_i·r2_ij,

f3_ij=w3_i·r3_ij

(6)

其精確化輸出u_ij可以是具有最大相對(duì)隸屬度的點(diǎn)，即

u_ij=f2_ij

(7)

于是某方案j的綜合評(píng)價(jià)值為

(8)

3 定量變量的描述及評(píng)價(jià)

　　為了與定性變量協(xié)同計(jì)算，我們對(duì)定量值按以下步驟進(jìn)行處理：

　　(1) 首先，按式(1)或(2)將各定量值轉(zhuǎn)換成相對(duì)隸屬度值R_ij

　　(2) 然后，利用各語言變量的隸屬函數(shù)，求出R_ij對(duì)于某語言變量k的相對(duì)隸屬度(R_ij),其中為語言變量k的模糊集k∈{NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB}，寫成三角形分量式是(a1^k_ij,a2^k_ij,a3^k_ij)，其隸屬函數(shù)亦如圖2所示。若設(shè)對(duì)于R_ij，隸屬度不為零的模糊集個(gè)數(shù)為l,此時(shí)，R_ij也可看作一個(gè)定性值，它由l個(gè)模糊數(shù)乘以相對(duì)隸屬度(R_ij)組成，即

(9)

　　其中，僅表示R_ij由l個(gè)模糊數(shù)組成，不具有任何運(yùn)算功能。 

　　例如，定量值0.4在“較差”中的相對(duì)隸屬度(0.4)=0.67，在撝袛中的相對(duì)隸屬度，則。設(shè)權(quán)重為，則由公式(5)、(9)，模糊評(píng)價(jià)的結(jié)果為

(10)

　　(3) 可由各模糊數(shù)按加權(quán)平均求出其精確輸出值u_ij。

(11)

其中，f2^k_ij指方案j中的目標(biāo)i在第k個(gè)模糊數(shù)中相對(duì)隸屬度最大的點(diǎn)，與公式(6)相仿，f2^k_ij=w2_i·a2^k_ij，其它符號(hào)意義同前。 

　　(4) 于是方案j的最終的綜合評(píng)價(jià)值亦可由公式(8)給出。

表1

方案號(hào)

水庫最高洪水位/m

調(diào)洪末庫水位/m

棄水量/10⁸³

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

264.04

263.83

263.51

263.18

262.96

263.42

263.23

263.09

262.99

262.96

263.03

263.87

263.51

262.97

262.40

262.01

262.78

262.59

262.44

262.34

262.30

262.42

17.28

19.01

21.60

24.19

25.92

22.46

23.33

24.02

24.45

24.62

24.11

4 算例

　　我們采用文獻(xiàn)[4]中的算例，以豐滿水庫1991年7月28日的實(shí)際洪水調(diào)度為例，對(duì)生成的11種方案進(jìn)行優(yōu)選，各方案的目標(biāo)值見表1。洪水調(diào)度考慮了3個(gè)防洪目標(biāo)：(1)水庫最高洪水位；(2)調(diào)洪末庫水位；(3)棄水量。 

　　現(xiàn)將權(quán)重以定性值給出，即(“一般”，“不重要”、“不太重要”)，用模糊數(shù)表示為，各語言變量的隸屬函數(shù)見圖2。

　　其中目標(biāo)(1)、(3)為成本型，應(yīng)用式(2)求r_ij；根據(jù)水庫防洪規(guī)劃，7月末庫水位為262.44m，故目標(biāo)(2)為中間型，按文獻(xiàn)[3]求目標(biāo)相對(duì)隸屬度的公式為：

(12)

　　首先，利用式(2)和(12)對(duì)表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，得到相對(duì)隸屬度矩陣如下：

　　然后，求出R中各定量值對(duì)于各模糊集{NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB}的相對(duì)隸屬度(R_ij)；第三，按公式(11)求出j方案中i目標(biāo)的評(píng)價(jià)指標(biāo)u_ij。最后，由公式(8)得到方案j的最終綜合評(píng)價(jià)值v_j，v_j從大到小排列的順序也就是方案的優(yōu)選順序。按上述方法得到v=(0.3500，0.4401，0.5777，0.7112，0.6748，0.6178，0.7037，0.7668，0.7782，0.7782，0.7874)，則優(yōu)劣排序?yàn)?11，10，9，8…)，方案11為最滿意方案，這與文獻(xiàn)[4]中所得結(jié)論是一致的。 

　　注意，雖然這里是以目標(biāo)完全為定量值、權(quán)重均為定性值為例，但對(duì)于含有部分定性目標(biāo)及定量權(quán)重的混合情況也是適用的，只要先將定量值按第3節(jié)中所述模糊化后就可用類似的方法與定性值一起處理了。

結(jié)語

　　在多目標(biāo)決策問題中，常含有一些定性變量，如定性目標(biāo)值或權(quán)重，本文就這類問題給出了一種利用模糊邏輯求解的方法。應(yīng)該指出，雖然從理論上說，此方法亦適用于僅含定量值的多目標(biāo)決策，但由于要對(duì)定量值進(jìn)行模糊化處理，增加了計(jì)算量，故倘若問題中不含有定性變量，則應(yīng)用模糊優(yōu)選模型式(4)可以很好地求解。然而對(duì)含有定性變量的多目標(biāo)決策問題，它不失為一種有效的方法。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1] 陳守煜.工程模糊集理論與應(yīng)用 [M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1998.

[2] 陳守煜.多階段多目標(biāo)決策系統(tǒng)模糊優(yōu)選理論及其應(yīng)用 [J].水利學(xué)報(bào).1990，(1).

[3] 陳守煜.復(fù)雜水資源系統(tǒng)優(yōu)化模糊識(shí)別理論與應(yīng)用 [M].長(zhǎng)春：吉林大學(xué)出版社，2002.

[4] 程春田，王本德.啟發(fā)式與人機(jī)交互相結(jié)合的水庫防洪模糊優(yōu)化調(diào)度模型 [J].水利學(xué)報(bào)，1995，(11).

[5] Ronald R Yager, Lotfi A Zadeh. An Introduction to Fuzzy Logic App lications in Intelligent Systems [M]. Kluwer Academic Publishers, 1992.

[6] Lilybert L Machacha, Prabir Bhattacharya. A Fuzzy-logic-based A pproach to Project Selection [J]. IEEE TRANSACTIONS ON ENGINEERING MANAGEMENT, 2000, 47 (1).

收稿日期：2001-09-10

作者簡(jiǎn)介：鄒進(jìn)(1973-)，女，博士生，研究方向?yàn)槟：碚摷捌湓谒娤到y(tǒng)中的應(yīng)用。