中點單覘法三角高程測量及其精度分析

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0 前 言

目前，隨著測距技術的發(fā)展，精度的提高，以及測距儀、全站儀的普及，三角高程測量作為高程控制測量的一種有效手段，正逐步受到廣大測繪工作者的青睞。在三角高程測量方法中，現(xiàn)階段主要采用的是直返覘法——用往返觀測測定相鄰點的高差的方法；而應用中點單覘法（在兩置覘點中間安置儀器測定覘點間高差的方法）的人卻較少。

雖然直返覘法在建立平面控制網(wǎng)的同時，為求這些待定平面點的高程而建立三角高程控制網(wǎng)時較為方便，但由于平面控制點大多建在制高點上，用其作為高程控制點，使用較為不便，一般平面控制網(wǎng)與高程控制網(wǎng)均分開布設，高程點布設在利于保存、使用的地方，此時運用中點單覘法來進行三角高程測量，較之直返覘法有較強的靈活性與實用性。

中點單覘法三角高程測量有以下幾個特點：

a 測站不需對中，不需量取儀器高；

b 采用適當方法，可不量取覘標高；

c 測站選在中部時，可減弱大氣折光的影響；

d 減少勞動強度、提高作業(yè)速度等。

1 中點單覘法三角高程測量原理及精度分析

1.1 高差計算公式的推導

如圖1所示，為求A、B兩點間的高差，將全站儀置于A、B兩點大致中間位置的D點處，則

圖1

故A點至B點的高差為：

式中：

s——經(jīng)氣象改正后的斜距；

z——天頂距的觀測值；

V——覘標高；

R——測區(qū)地球平均曲率半徑；

K——大氣折光系數(shù)。

由于前、后視高差觀測是在相近條件下進行的，可認為其折光系數(shù)，k_A≈k_B，令k_A=k_B=k，代入式（3）得：

中點單覘法三角高差測量時，每一測站均應獨立施測兩次，滿足要求后，取其平均值作為最后成果，即

式中：

h′_AB——第一次觀測高差；

h″_AB——第二次觀測高差。

由上述可知，中點單覘法三角高差測量時，不需對中和量取儀器高。

1.2 中誤差計算式

對式(4)進行全微分，得：

由于式(6)等號右邊前四項括號中的第二項較小、相對于第一項而言，可忽略不計，并顧及D_A=s_Asinz_A、D_B=s_Bsinz_B，則得：

運用誤差傳播定律，考慮到觀測量之間相互獨立，得：

由于采用中點單覘法進行三角高程測量時，儀器大致在兩置覘點的中部且一般距離較短，則可近似認為m²_sA=m²_sB=m²_s；并顧及m²_zA=m²_zB=m²_z，m²_vA=m²_vB=m²_v，

由上式可得：

式中：

m_h——中點單覘法三角高差的中誤差；

m_s——測邊中誤差；

m_z——天頂距觀測中誤差；

m_k——大氣折光系數(shù)測定中誤差；

m_v——覘標高量取中誤差；

Z——天頂距的觀測值；

D——水平距離，D=s·cosz；

R——測區(qū)地球平均曲率半徑；

ρ——取206265″.

則，高差平均值的中誤差為：

1.3 精度分析及結論

設m_s=±10 mm、m_z=±1.8″、m_k=±0.05、m_v=±1 mm，取不同的平距D和天頂距Z，按式(10)計算高差平均值的中誤差，結果列于表1中。

表1

平 距

D

（m）

前后

視距差

（m）

高 差 平 均 值 的 中 誤 差 （mm）

每 公 里 的 高 差 中 誤 差 （mm/km）

200

100

2.94

2.23

1.65

1.44

6.58

4.99

3.68

3.22

40

2.91

2.19

1.60

1.38

6.52

4.90

3.57

3.09

20

2.91

2.19

1.59

1.38

6.51

4.89

3.56

3.08

0

2.91

2.19

1.59

1.37

6.50

4.89

3.55

3.07

300

100

3.10

2.44

1.92

1.74

5.66

4.45

3.50

3.18

40

3.07

2.40

1.87

1.69

5.61

4.38

3.42

3.09

20

3.07

2.40

1.87

1.69

5.61

4.37

3.41

3.08

0

3.07

2.39

1.86

1.68

5.60

4.37

3.40

3.08

400

100

3.31

2.70

2.24

2.09

5.24

4.27

3.54

3.31

40

3.29

2.67

2.20

2.05

5.19

4.22

3.48

3.25

20

3.28

2.66

2.20

2.05

5.19

4.21

3.47

3.24

0

3.28

2.66

2.20

2.04

5.19

4.21

3.47

3.23

500

150

3.60

3.05

2.65

2.53

5.09

4.31

3.75

3.58

100

3.56

3.00

2.60

2.48

5.03

4.25

3.68

3.50

40

3.54

2.97

2.57

2.44

5.01

4.21

3.63

3.45

20

3.54

2.97

2.56

2.43

5.00

4.20

3.62

3.44

0

3.53

2.97

2.56

2.43

5.00

4.20

3.62

3.44

600

150

3.89

3.38

3.03

2.93

5.02

4.37

3.91

3.78

100

3.85

3.34

2.99

2.88

4.98

4.32

3.86

3.72

40

3.83

3.31

2.95

2.84

4.94

4.28

3.81

3.67

20

3.83

3.31

2.95

2.84

4.94

4.27

3.81

3.66

0

3.82

3.31

2.95

2.84

4.94

4.27

3.80

3.66

700

150

4.21

3.74

3.43

3.34

5.03

4.48

4.10

3.99

100

4.17

3.71

3.39

3.29

4.99

4.43

4.05

3.93

40

4.15

3.68

3.36

3.26

4.96

4.39

4.01

3.90

20

4.14

3.67

3.35

3.25

4.95

4.39

4.00

3.89

0

4.14

3.67

3.35

3.25

4.95

4.39

4.00

3.89

800

150

4.55

4.13

3.84

3.76

5.09

4.61

4.30

4.20

100

4.52

4.09

3.80

3.72

5.05

4.57

4.25

4.16

40

4.49

4.06

3.77

3.68

5.02

4.54

4.22

4.12

20

4.48

4.05

3.76

3.68

5.01

4.53

4.21

4.11

0

4.48

4.05

3.76

3.67

5.01

4.53

4.20

4.11

900

150

4.91

4.52

4.27

4.19

5.18

4.77

4.50

4.42

100

4.88

4.48

4.23

4.15

5.14

4.73

4.45

4.37

40

4.85

4.45

4.19

4.12

5.11

4.70

4.42

4.34

20

4.84

4.45

4.19

4.11

5.11

4.69

4.41

4.33

0

4.84

4.44

4.18

4.11

5.10

4.68

4.41

4.33

1000

200

5.34

4.98

4.75

4.68

5.34

4.98

4.75

4.68

150

5.29

4.93

4.70

4.63

5.29

4.93

4.70

4.63

100

5.26

4.89

4.66

4.59

5.26

4.89

4.66

4.59

40

5.23

4.86

4.63

4.56

5.23

4.86

4.63

4.56

20

5.22

4.86

4.62

4.55

5.22

4.86

4.62

4.55

0

5.22

4.85

4.61

4.54

5.22

4.85

4.61

4.54

1100

200

5.73

5.40

5.19

5.13

5.47

5.15

4.95

4.89

150

5.69

5.35

5.14

5.08

5.42

5.10

4.90

4.84

100

5.65

5.31

5.10

5.03

5.39

5.07

4.86

4.80

40

5.62

5.28

5.06

5.00

5.36

5.04

4.83

4.77

20

5.61

5.27

5.06

4.99

5.35

5.03

4.82

4.76

0

5.61

5.27

5.05

4.99

5.35

5.02

4.81

4.75

1200

200

6.14

5.83

5.64

5.58

5.61

5.33

5.15

5.09

150

6.09

5.78

5.59

5.53

5.56

5.28

5.10

5.05

100

6.06

5.74

5.54

5.49

5.53

5.24

5.06

5.01

40

6.02

5.71

5.51

5.45

5.50

5.21

5.03

4.98

20

6.02

5.70

5.50

5.44

5.49

5.20

5.02

4.97

0

6.01

5.69

5.49

5.43

5.49

5.20

5.01

4.96

1300

200

6.56

6.28

6.09

6.04

5.76

5.50

5.34

5.30

150

6.51

6.22

6.04

5.99

5.71

5.46

5.30

5.25

100

6.47

6.18

6.00

5.94

5.68

5.42

5.26

5.21

40

6.44

6.15

5.96

5.91

5.65

5.39

5.23

5.18

20

6.43

6.14

5.95

5.90

5.64

5.38

5.22

5.17

0

6.42

6.13

5.94

5.89

5.63

5.38

5.21

5.16

1400

200

6.99

6.73

6.56

6.51

5.91

5.68

5.54

5.50

150

6.94

6.67

6.50

6.45

5.87

5.64

5.50

5.45

100

6.90

6.63

6.46

6.41

5.83

5.60

5.46

5.42

40

6.86

6.59

6.42

6.37

5.80

5.57

5.42

5.38

20

6.85

6.58

6.41

6.36

5.79

5.56

5.41

5.37

0

6.85

6.57

6.40

6.35

5.79

5.55

5.41

5.36

1500

200

7.44

7.19

7.03

6.98

6.07

5.87

5.74

5.70

150

7.38

7.13

6.97

6.92

6.03

5.82

5.69

5.65

100

7.34

7.08

6.92

6.88

5.99

5.78

5.65

5.62

40

7.30

7.04

6.88

6.83

5.96

5.75

5.62

5.58

20

7.29

7.03

6.87

6.82

5.95

5.74

5.61

5.57

0

7.28

7.02

6.86

6.81

5.94

5.73

5.60

5.56

注：1.表中平距D=D_A+D_B；

2.前后視距差=｜D_A-D_B｜.

通過對表1的分析，可知：

1）由于采用中點單覘法進行三角高程測量時邊長較短，故大氣折光的影響較小，其高差測量精度主要受測距與天頂距精度的影響。有時當垂直角較大時，測距精度影響甚至大于天頂距精度的影響。如D_A=300 m、D_B=200 m，即高差點間平距D=500 m，Z=75°，觀測精度同上時，

由測距誤差m_s引起的高差誤差m_hs=±2.59 mm；

由天頂距誤差m_z引起的高差誤差m_hz=±2.22 mm；

由大氣折光系數(shù)測定誤差m_k引起的高差誤差m_hk=±0.14 mm；由覘標高量取誤差m_v引起的高差誤差m_hv=±1.00 mm；高差平均值的中誤差為：

這與傳統(tǒng)的三角高程測量（直返覘法）精度主要受天頂距精度的影響是不同的。

2）從衡量中點單覘法三角高程測量精度的指標——每公里高差中誤差來考慮，前后兩高差點間平距D的最有利范圍為400 m≤D≤800 m，即200 m≤前后視距≤400 m，取每公里高差中誤差的2倍作為極限誤差，在此范圍內可滿足三等水準測量的要求，且隨垂直角變小，平距D應變短為有利；

3）取每公里高差中誤差的2倍作為極限誤差，均可滿足四等水準測量的要求；

4）用測距精度3+2×D×10^-6代替，m_s=±10 mm，其它不變，代入表1進行計算（受篇幅所限，文中未列出計算結果），可得D≤1200 m時，能滿足三等水準測量的要求；

5）受外界條件限制，前后視距特別短而傾角較大時，可用提高測距精度的方法來達到高程測量所需的精度。

另外，采用如下方法進行中點單覘法三角高程測量時，可不量取覘標高，從而進一步提高精度。

要求覘牌用帶支撐架的對中桿安置。

a.前后視用同一對中桿，且不變換高度，即v_A=v_B.

則由式（4）可得：

故不量取覘標高。

b.偶數(shù)站法

用兩根對中桿，在同一測段（至少相鄰兩個測站）中，不改變其高度。如圖2所示，為測定圖2I、J兩點間高差，安置了兩站儀器，桿1在第一站時為后視覘，在第二站時為前視覘，桿2（第一站時的前視覘，也就是第二站時的后視覘）的位置不變，這時兩測站的高差和為：

故不量取覘標高。

以此可推廣到偶數(shù)站。如同水準測量中采用偶數(shù)站法可消除兩標尺零點差不相等一樣。

2 結束語

綜上所述，采用中點單覘法進行三角高程測量，特別是在山區(qū)進行高程控制時，能減少勞動強度、提高作業(yè)速度，具有較強的靈活性與實用性，曾在貴陽市富水北路等工程中進行應用，其精度均達到四等水準測量及以上。

參考文獻：

［1］ DZ/T 0034-92,光電測距高程導線測量規(guī)范［S］.

［2］孔祥元.控制測量學［M］.武漢:武漢測繪科技大學出版社,1996.

［3］於宗儔.測量平差基礎［M］.北京:測繪出版社,1984.

The Trigonometric Leveling by the Method of

Central Point—Single Target and Accuracy Analysis

WANG Li¹,ZHANG Wei², DU Ning¹

(1.School of Resources and Environment, GUT, Guiyang 550003, China;2.The Fourth Designing Institution of Mechanical Industry, Luoyang 471039, China)

Abstract:This paper discusses the principle and accuracy of the trigonometric leveling by the method of central point—single target in detail, pointing out it can meet the requirements of three-or four-order leveling.

Key words:the method of central point—single target; trigonometric leveling; accuracy

收稿日期：2001-11-23

作者簡介：王莉(1969-)，女(漢族)，貴州人，講師.