Kendall檢驗(yàn)在水文序列趨勢(shì)分析中的研究

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簡(jiǎn)介： 本文通過(guò)蒙特卡洛模擬對(duì)Kendall非參數(shù)秩次相關(guān)檢驗(yàn)法在水文時(shí)間序列趨勢(shì)檢驗(yàn)中的識(shí)別能力做了研究。模擬結(jié)果表明，該方法的識(shí)別能力與之前給定的顯著性水平、樣本容量、趨勢(shì)度和變差系數(shù)有關(guān)。隨著趨勢(shì)度的絕對(duì)值、樣本容量和顯著性水平的增加，Kendall檢驗(yàn)法的識(shí)別能力增強(qiáng)；隨著變差系數(shù)的增加，該方法的識(shí)別能力減??；當(dāng)趨勢(shì)存在時(shí)，該方法還與時(shí)間序列服從的分布類型和形狀參數(shù)有關(guān)。最后采用Kendall秩次檢驗(yàn)法分析了普渡河流域?？凇⒉碳掖搴腿谒恼镜哪陱搅飨盗?，發(fā)現(xiàn)蔡家村和三江口的年徑流有增加的趨勢(shì)，找出了增加的原因。
關(guān)鍵字：Mann-Kendall 非參數(shù)秩次相關(guān)檢驗(yàn)法 蒙塔卡洛模擬 水文時(shí)間序列 趨勢(shì)分析

1、引言

　　水文序列是從工程所在地點(diǎn)或鄰近地點(diǎn)水文觀測(cè)的資料中選取表征水文過(guò)程特征值（如洪峰流量或水位、各種時(shí)段洪水總量等）的樣本。它們是進(jìn)行頻率分析、估計(jì)設(shè)計(jì)水文過(guò)程的基礎(chǔ)資料。在水文資料的觀測(cè)期內(nèi)，如因流域上修建了蓄水、引水、水土保持等工程以及流域的氣候發(fā)生變化等等，這些人工或天然的原因使流域水文現(xiàn)象的形成條件發(fā)生了顯著的改變，因而水文變量的概率分布規(guī)律也發(fā)生了顯著的變異，我們把這一問(wèn)題稱為水文資料的“非一致性”問(wèn)題[1]。如果將“非一致性”的水文資料混雜在一起作為一個(gè)樣本進(jìn)行水文頻率計(jì)算顯然違背了用于頻率分析的水文序列必須服從同一分布的要求。

　　因此，進(jìn)行頻率分析之前，必須檢驗(yàn)序列是否具有一致性，其中趨勢(shì)檢驗(yàn)是一致性檢驗(yàn)的內(nèi)容之一。在水文資料分析研究中，非參數(shù)秩次相關(guān)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，即Kendall檢驗(yàn)用于識(shí)別時(shí)間序列是否存在趨勢(shì)成分。本文首先簡(jiǎn)單介紹了MK趨勢(shì)檢驗(yàn)法；研究了該方法識(shí)別正態(tài)分布序列趨勢(shì)的能力與給定的顯著性水平、樣本容量、趨勢(shì)度和變差系數(shù)的關(guān)系；同時(shí)探討該方法識(shí)別非正態(tài)分布序列趨勢(shì)的能力與分布類型和形狀參數(shù)的關(guān)系；最后舉出該方法的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例。

2、Kendall秩次相關(guān)檢驗(yàn)

　　Kendall非參數(shù)秩次相關(guān)檢驗(yàn)法已經(jīng)廣泛的用于檢驗(yàn)水文氣象資料的趨勢(shì)成分，包括水質(zhì)、流量、氣溫和降雨序列等，究其原因主要是，與參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)法相比，非參數(shù)檢驗(yàn)法更適用于非正態(tài)分布或經(jīng)過(guò)刪檢（刪去低于或高于某水平的觀測(cè)值）的資料，而這些情況在時(shí)間序列分析中常常會(huì)遇到。過(guò)去20年里，國(guó)際上關(guān)于MK方法應(yīng)用研究的實(shí)例非常之多[2-4]。盡管該方法應(yīng)用如此之廣泛，但我們還是不清楚該方法是不是適用于各種情況下的時(shí)間序列的趨勢(shì)檢驗(yàn)。

　　對(duì)序列，先確定所有對(duì)偶值中與的大小關(guān)系（設(shè)為）。趨勢(shì)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量[5]為：

　　（1）

　　式中：

　??；（2）

　?。?）

　　當(dāng)大于10時(shí)，收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

　　原假設(shè)為該序列無(wú)趨勢(shì)，采用雙邊趨勢(shì)檢驗(yàn)，在給定顯著性水平下，在正態(tài)分布表中查得臨界值，當(dāng)時(shí)，接受原假設(shè)，即趨勢(shì)不顯著；若，則拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為趨勢(shì)顯著。

　　3、Kendall檢驗(yàn)對(duì)正態(tài)分布序列趨勢(shì)的識(shí)別能力

　　3.1 兩類錯(cuò)誤與識(shí)別能力

　　假設(shè)檢驗(yàn)[7]中有兩類錯(cuò)誤：第一類錯(cuò)誤為“棄真”，即原假設(shè)本來(lái)是正確的，但檢驗(yàn)結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知，犯第一類錯(cuò)誤的概率為顯著性水平；第二類錯(cuò)誤為“納偽”，即原假設(shè)本來(lái)是錯(cuò)誤的，但檢驗(yàn)結(jié)果卻接受了原假設(shè)。犯第二類錯(cuò)誤的概率為。

　　定義兩種檢驗(yàn)方法的識(shí)別能力為，也就是當(dāng)原假設(shè)錯(cuò)誤時(shí)，該檢驗(yàn)方法正確拒絕原假設(shè)的能力。

3.2 蒙特卡洛模擬試驗(yàn)步驟

　　因?yàn)樗臅r(shí)間序列可看成是多種成分組成。假定這些成分是線性疊加，可按下式表示[5]：

　　式中為確定性的非周期成分（包括趨勢(shì)，跳躍等暫態(tài)成分等）；為確定性的周期成分（包括簡(jiǎn)單的或復(fù)合周期的成分等）；為隨機(jī)成分（包括平穩(wěn)的或非平穩(wěn)的隨機(jī)成分）。本次研究的時(shí)間序列只考慮確定性的非周期成分中的趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)成分。

　　蒙特卡洛模擬用于評(píng)價(jià)Kendall檢驗(yàn)識(shí)別趨勢(shì)成分的能力，試驗(yàn)步驟如下：

　?、倭?；

　　②生成正態(tài)分布的隨機(jī)序列，樣本容量可取，樣本均值均取1.0，方差分別為，其中；樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差和變差系數(shù)為；

　?、凵哨厔?shì)成分，，為趨勢(shì)度，可取-0.01，-0.005，0，0.005和0.01等；

　?、軐ⅱ诤廷壑猩傻男蛄邪葱蛱?hào)對(duì)應(yīng)相加得到有趨勢(shì)的時(shí)間序列；

　?、菰僭O(shè)為序列不存在趨勢(shì)，采用Kendall檢驗(yàn)法對(duì)序列進(jìn)行趨勢(shì)檢驗(yàn)。如果拒絕原假設(shè)，則，否則；

　?、拗貜?fù)步驟②~⑤次；

　?、吒鶕?jù)前面的定義，Kendall檢驗(yàn)的識(shí)別能力為：

　　式中：為蒙特卡洛模擬的次數(shù)；為檢驗(yàn)落在拒絕域里的次數(shù)。

　　3.3 結(jié)果分析

　　3.3.1 識(shí)別能力與顯著性水平、趨勢(shì)度的關(guān)系

　　樣本容量取50；均值取1.0；變差系數(shù)取0.5；顯著性水平取0.002，0.005，0.01，0.025，0.05，0.10，0.15，0.20；趨勢(shì)度取-0.01，-0.005，0，0.005和0.01。Kendall趨勢(shì)檢驗(yàn)法的識(shí)別能力與顯著性水平和趨勢(shì)度的關(guān)系見表1和圖1。從蒙特卡洛模擬結(jié)果可以看出，對(duì)于同一顯著性水平，趨勢(shì)度絕對(duì)值越大，則檢驗(yàn)法的識(shí)別能力越強(qiáng)；而對(duì)于同一趨勢(shì)度，顯著性水平越大，則檢驗(yàn)法的識(shí)別能力越強(qiáng)；特別的，當(dāng)時(shí)，序列無(wú)趨勢(shì)存在，原假設(shè)是正確的，此時(shí)，檢驗(yàn)法的識(shí)別能力均等于事先給定的顯著性水平。

　　表1Kendall的識(shí)別能力與顯著性水平和趨勢(shì)度的關(guān)系

趨勢(shì)度顯著性水平0.002 0.005 0.010 0.025 0.050 0.100 0.150 0.200 -0.010 0.114 0.180 0.252 0.380 0.498 0.629 0.702 0.757 -0.005 0.009 0.026 0.050 0.101 0.161 0.269 0.335 0.391 0.000 0.002 0.005 0.010 0.025 0.050 0.100 0.150 0.200 0.005 0.015 0.029 0.051 0.098 0.162 0.252 0.320 0.378 0.010 0.103 0.170 0.244 0.361 0.488 0.615 0.694 0.754

　　圖1Kendall的識(shí)別能力與顯著性水平和趨勢(shì)度的關(guān)系

3.3.2 識(shí)別能力與樣本容量、趨勢(shì)度的關(guān)系

　　顯著性水平取0.05；均值取1.0；變差系數(shù)取0.5；樣本容量取10~100；趨勢(shì)度取-0.01，-0.005，0，0.005和0.01。Kendall趨勢(shì)檢驗(yàn)法的識(shí)別能力與樣本容量和趨勢(shì)度的關(guān)系見表2和圖2。從蒙特卡洛模擬結(jié)果可以看出，隨著樣本容量和趨勢(shì)度絕對(duì)值的增加，檢驗(yàn)法的識(shí)別能力增強(qiáng)；特別的，當(dāng)時(shí)，序列無(wú)趨勢(shì)存在，原假設(shè)是正確的，此時(shí)，檢驗(yàn)法的識(shí)別能力均等于事先給定的顯著性水平。

　　表2MK的識(shí)別能力與樣本容量和趨勢(shì)度的關(guān)系

趨勢(shì)度樣本容量20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0.010 0.069 0.126 0.284 0.498 0.729 0.897 0.975 0.996 0.999 -0.005 0.049 0.063 0.110 0.161 0.240 0.370 0.527 0.666 0.790 0.000 0.050 0.050 0.050 0.050 0.050 0.050 0.050 0.050 0.050 0.005 0.045 0.079 0.094 0.162 0.251 0.367 0.493 0.646 0.781 0.010 0.065 0.141 0.252 0.488 0.727 0.894 0.975 0.997 0.999

　　圖2Kendall的識(shí)別能力與樣本容量和趨勢(shì)度的關(guān)系

3.3.3 識(shí)別能力與趨勢(shì)度、變差系數(shù)的關(guān)系

　　樣本容量取50；顯著性水平取0.05；均值為1.0；變差系數(shù)取0.01~1.0；趨勢(shì)度取-0.01，-0.005，0，0.005和0.01。Kendall趨勢(shì)檢驗(yàn)法的識(shí)別能力與變差系數(shù)、趨勢(shì)度的關(guān)系見表3和圖3。從蒙特卡洛模擬結(jié)果可以看出，對(duì)于同一變差系數(shù)，趨勢(shì)度絕對(duì)值越大，則檢驗(yàn)法的識(shí)別能力越強(qiáng)；而對(duì)于同一趨勢(shì)度，變差系數(shù)越大，則檢驗(yàn)法越難識(shí)別出序列存在趨勢(shì)成分；特別的，當(dāng)時(shí)，序列無(wú)趨勢(shì)存在，原假設(shè)是正確的，此時(shí)，檢驗(yàn)法的識(shí)別能力均等于事先給定的顯著性水平。

　　表3Kendall的識(shí)別能力與變差系數(shù)和趨勢(shì)度的關(guān)系

趨勢(shì)度變差系數(shù)0.01 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 -0.010 1.000 1.000 0.999 0.904 0.686 0.498 0.368 0.292 0.238 0.193 0.161 -0.005 1.000 0.999 0.686 0.368 0.238 0.161 0.129 0.107 0.096 0.085 0.076 0.000 0.050 0.050 0.050 0.050 0.050 0.050 0.050 0.050 0.050 0.050 0.050 0.005 1.000 0.999 0.669 0.354 0.223 0.162 0.123 0.104 0.088 0.078 0.072 0.010 1.000 1.000 0.999 0.893 0.669 0.488 0.354 0.279 0.223 0.185 0.162

　　圖3Kendall的識(shí)別能力與變差系數(shù)和趨勢(shì)度的關(guān)系

3.3.4 識(shí)別能力與樣本容量、變差系數(shù)的關(guān)系

　　顯著性水平取0.05；均值為1.0；趨勢(shì)度取0.005；樣本容量取10~100；變差系數(shù)取0.01~1.0。兩種趨勢(shì)檢驗(yàn)法的識(shí)別能力與樣本容量和變差系數(shù)的關(guān)系見表4和圖4。從蒙特卡洛模擬結(jié)果可以看出，對(duì)于同一變差系數(shù)，檢驗(yàn)法的識(shí)別能力隨著樣本容量的增加而增強(qiáng)；而對(duì)于同一樣本容量，檢驗(yàn)法的識(shí)別能力則隨著變差系數(shù)的增加而減小；特別的，當(dāng)時(shí)，序列無(wú)趨勢(shì)存在，原假設(shè)是正確的，此時(shí)，檢驗(yàn)法的識(shí)別能力均等于事先給定的顯著性水平。

　　表4Kendall的識(shí)別能力與樣本容量和變差系數(shù)的關(guān)系

樣本容量方差系數(shù)0.01 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 20 1.000 0.200 0.080 0.056 0.050 0.045 0.041 0.041 0.040 0.041 0.041 30 1.000 0.596 0.199 0.112 0.088 0.079 0.070 0.063 0.060 0.059 0.057 40 1.000 0.920 0.387 0.210 0.134 0.106 0.084 0.073 0.066 0.061 0.055 50 1.000 0.998 0.684 0.358 0.249 0.166 0.138 0.106 0.090 0.089 0.083 60 1.000 1.000 0.878 0.559 0.361 0.238 0.182 0.148 0.134 0.117 0.098 70 1.000 1.000 0.984 0.765 0.528 0.364 0.259 0.202 0.159 0.142 0.128 80 1.000 1.000 0.999 0.908 0.691 0.483 0.378 0.310 0.237 0.199 0.169 90 1.000 1.000 1.000 0.979 0.856 0.663 0.516 0.397 0.316 0.281 0.218 100 1.000 1.000 1.000 0.996 0.937 0.817 0.627 0.518 0.428 0.329 0.278

　　圖4Kendall的識(shí)別能力與樣本容量和變差系數(shù)的關(guān)系

4、Kendall檢驗(yàn)對(duì)非正態(tài)分布序列趨勢(shì)的識(shí)別能力

　　前面已經(jīng)討論了Kendall檢驗(yàn)對(duì)正態(tài)分布序列趨勢(shì)的識(shí)別能力，然而，水文時(shí)間序列通常是有偏的，很少有服從正態(tài)分布的，因此，下面進(jìn)一步探討Kendall檢驗(yàn)法識(shí)別非正態(tài)分布序列趨勢(shì)的能力。這里比較的都是水文中常用的幾種分布類型，包括三類極值分布（EV1、EV2和EV3）、對(duì)數(shù)正態(tài)分布（LN）和皮爾遜Ⅲ型分布（PE3）。

4.1 識(shí)別能力與分布類型的關(guān)系

　　為了方便比較研究，樣本容量取為50，均值和方差分別取為1.0和0.5，形狀參數(shù)取值見表5；趨勢(shì)度仍取-0.01，-0.005，0，0.005和0.01等；蒙特卡洛模擬次數(shù)取2000；顯著性水平取0.05。根據(jù)3.2的步驟評(píng)價(jià)兩種檢驗(yàn)法的識(shí)別能力，檢驗(yàn)結(jié)果列于表5中，并以圖5來(lái)表示。

　　表5 Kendall的識(shí)別能力與分布類型的關(guān)系

分布類型趨勢(shì)度-0.010 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 PE3（γ=1.5）0.685 0.495 0.318 0.173 0.079 0.050 0.086 0.162 0.317 0.499 0.656 EV1（γ=0.0）0.400 0.273 0.180 0.111 0.064 0.050 0.076 0.100 0.182 0.282 0.399 EV2（γ=-1.5）0.363 0.263 0.187 0.117 0.069 0.050 0.080 0.109 0.188 0.277 0.357 EV3（γ= 1.5）0.913 0.831 0.656 0.447 0.188 0.050 0.172 0.424 0.691 0.841 0.917 LN（γ=1.5）0.692 0.548 0.373 0.236 0.100 0.050 0.101 0.222 0.391 0.545 0.673

　　從模擬結(jié)果可以看出，當(dāng)，即沒有趨勢(shì)存在時(shí)，檢驗(yàn)法對(duì)所有分布的識(shí)別能力等于之前給定的顯著性水平0.05，說(shuō)明檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)序列服從的分布類型并不敏感。然而，當(dāng)時(shí)，即有趨勢(shì)存在時(shí)，檢驗(yàn)法對(duì)不同分布趨勢(shì)的識(shí)別能力大不一樣。Kendall檢驗(yàn)對(duì)EV3型極值分布趨勢(shì)的識(shí)別能力最高，而對(duì)LN趨勢(shì)的識(shí)別能力最低。由此說(shuō)明，當(dāng)序列存在趨勢(shì)時(shí)，Kendall趨勢(shì)檢驗(yàn)法與序列的分布類型有關(guān)，而通常我們錯(cuò)誤地認(rèn)為秩次檢驗(yàn)法與分布類型無(wú)關(guān)。

　　圖5Kendall檢驗(yàn)法的識(shí)別能力與分布類型的關(guān)系

4.2 識(shí)別能力與形狀參數(shù)的關(guān)系

　　為了說(shuō)明趨勢(shì)檢驗(yàn)法的識(shí)別能力與分布類型的形狀參數(shù)的關(guān)系，我們以PE3和EV3分布為例做了研究。除分布的形狀參數(shù)取值（見表6）不同以外，其它參數(shù)取值與4.1中所取值相同。兩種檢驗(yàn)法的識(shí)別能力與形狀參數(shù)取值的關(guān)系見表6，并以圖6來(lái)表示。

　　表6Kendall的識(shí)別能力與分布的形狀參數(shù)的關(guān)系

分布類型形狀參數(shù)γ趨勢(shì)度-0.010 -0.008 -0.006 -0.004 0.000 0.004 0.006 0.008 0.010 PE32.0 0.820 0.648 0.440 0.251 0.045 0.245 0.445 0.652 0.799 1.5 0.685 0.495 0.318 0.173 0.045 0.162 0.317 0.499 0.656 1.2 0.613 0.434 0.274 0.154 0.045 0.142 0.273 0.433 0.586 1.0 0.571 0.400 0.253 0.144 0.045 0.128 0.255 0.396 0.556 EV31.50.913 0.831 0.656 0.447 0.045 0.424 0.691 0.841 0.917 1.2 0.862 0.727 0.531 0.321 0.045 0.305 0.547 0.729 0.865 0.9 0.777 0.597 0.388 0.225 0.045 0.208 0.405 0.603 0.755 0.6 0.631 0.446 0.273 0.158 0.045 0.146 0.285 0.447 0.610 0.3 0.489 0.340 0.215 0.126 0.045 0.113 0.209 0.339 0.475

　　從模擬結(jié)果中我們可以找出檢驗(yàn)法識(shí)別能力與形狀參數(shù)取值之間的相關(guān)規(guī)律，那就是同一趨勢(shì)度下，形狀參數(shù)值越大，檢驗(yàn)法的識(shí)別能力越大。因此，即使同一個(gè)站點(diǎn)的不同時(shí)間序列（例如降雨和徑流）有相類似的趨勢(shì)成份存在，但由于他們服從的分布類型的形狀參數(shù)不同，采用Kendall去進(jìn)行趨勢(shì)檢驗(yàn)，也可能會(huì)出現(xiàn)不一樣的結(jié)果。

　　圖6Kendall檢驗(yàn)法的識(shí)別能力與PE3型分布形狀參數(shù)的關(guān)系

5、應(yīng)用實(shí)例

　　以云南省昆明市普渡河流域滇池以下的?？?、蔡家村和三江口水文站為例，采用Kendall非參數(shù)秩次檢驗(yàn)法對(duì)三站的年徑流系列進(jìn)行趨勢(shì)檢驗(yàn)，徑流系列情況及檢驗(yàn)結(jié)果見表7，其中顯著性水平均取0.002。從表7可以看出，在該顯著性水平下，蔡家村和三江口的徑流系列存在明顯的趨勢(shì)成分，且這兩個(gè)站的年徑流在實(shí)測(cè)期內(nèi)有上升的趨勢(shì)，這一點(diǎn)從圖7中也可以看出，從1997年開始，三江口站的年徑流就存在明顯的增加。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)的人類活動(dòng)頻繁，1997年在?？趡蔡家村區(qū)間興建一調(diào)水工程，將上游滇池水引入該區(qū)間，導(dǎo)致蔡家村和三江口站年徑流增加。因此，這兩站的實(shí)測(cè)年徑流系列不滿足一致性條件，在對(duì)這兩站進(jìn)行頻率分析之前，必須根據(jù)前面分析的原因，對(duì)其年徑流系列進(jìn)行還原計(jì)算，把全部系列建立在同一基礎(chǔ)上。

　　表7?？?、蔡家村和三江口站年徑流趨勢(shì)分析成果

站名系列系列參數(shù)（矩法計(jì)算）Kendall檢驗(yàn)成果均值CVCS是否存在趨勢(shì)趨勢(shì)類型?？?957-200312.30.620.92否/蔡家村1953-200328.00.520.71是　上升三江口1954-200388.50.571.87是上升6、結(jié)語(yǔ)

　　本文主要研究了Kendall非參數(shù)秩次檢驗(yàn)法識(shí)別水文時(shí)間序列趨勢(shì)成分的能力，大量的模擬研究表明：

　?。?）Kendall檢驗(yàn)法的識(shí)別能力與之前給定的顯著性水平、樣本容量、趨勢(shì)度和變差系數(shù)有關(guān)。其識(shí)別能力是趨勢(shì)度的絕對(duì)值、樣本容量和顯著性水平的增函數(shù)，是變差系數(shù)的減函數(shù)。

　　（2）當(dāng)時(shí)間序列存在趨勢(shì)時(shí)，Kendall檢驗(yàn)法與時(shí)間序列服從的分布類型和形狀參數(shù)有關(guān)，但我們還無(wú)法判斷識(shí)別能力與形狀參數(shù)的關(guān)系。

　?。?）通過(guò)采用Kendall非參數(shù)秩次檢驗(yàn)法分析了普渡河流域滇池以下的海口、蔡家村和三江口水文站的年徑流序列，發(fā)現(xiàn)蔡家村和三江口站年徑流存在明顯的上升趨勢(shì)，造成徑流增加的原因是人類活動(dòng)（上游調(diào)水工程）的影響。

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